Classe de 5°, Triangles, leçon 4 :
Bissectrice d'un angle, bissectrices d'un triangle.

Pré-requis :
Tracés de triangles de mesures données.
Tracé d'un angle aigu ou obtus de mesure donnée.
Tracer la perpendiculaire à une droite passant par un point.
Tangence d'un cercle et d'une droite

Les notions de distance à une droite et de cercle inscrit sont peut-être hors-programme et peuvent être éludées.

I- Bissectrice d'un angle.

Définition : La bissectrice d'un angle est la droite ou la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.

1- Comment construire la bissectrice d'un angle ?

Tracer un angle xAy.gif (102 octets) de 60°.

Etape 1 :

Choisir une ouverture de compas et placer deux points M et M' a égale distance de A sur chacune des demi-droites [Ax) et [Ay)

(voir figure 1 : on trace un arc de centre A qui coupe [Ax) et [Ay) en M et M'.)

Bissec1.gif (1108 octets)

Figure 1

Etape 2 :

Placer un point B à l'intérieur de l'angle à égale distance de M et de M' .

(sur la figure 2, on a tracé deux cercles de même rayon, centrés en M et M'. Ils se coupent en A et B)

Bissec2.gif (1578 octets)

Figure 2

Etape 3 :

On trace la droite (AB) ou la demi-droite [AB).
C'est la bissectrice de l'angle xAy.gif (102 octets).
Elle sépare l'angle xAy.gif (102 octets) en deux angles xAz.gif (97 octets) et zAy.gif (102 octets) de même mesure (30°, vous pouvez le vérifier).

C'est la bissectrice de l'angle xAy.gif (102 octets).

Bissec3.gif (1395 octets)

Figure 3

Application : Tracer un angle uOv.gif (88 octets) de 110° et sa bissectrice.

Bissec4.gif (1473 octets)

Avec un angle obtus, il peut arriver que l'élève ait plus de difficultés à tracer la bissectrice. Il peut être nécessaire d'entraîner les élèves à tracer des bissectrices sur de nombreux exemples avant de passer à la suite du cours.

2- Propriété des points de la bissectrice. (Facultatif)

Tracer un angle xOy.gif (113 octets) quelconque et sa bissectrice.
Placer un point P sur cette bissectrice.
Tracer la perpendiculaire à [Ox) qui passe par P. Elle coupe [Ox) en H.
Tracer la perpendiculaire à [Oy) qui passe par P. Elle coupe [Oy) en H'.
Mesurer les distances PH et PH'.

Il est ici intéressant de tracer un tableau à deux colonnes : PH et PH', et de demander à plusieurs élèves leurs résultats, afin qu'ils constatent que, quel que soit le cas de figure, leurs mesures pour PH et PH' sont à peu près identiques.

Bissec5.gif (1403 octets)

Dans tous les cas de figure, on a PH = PH'.
Tous les points de la bissectrice se trouvent donc à égale distance des deux côtés de l'angle.

On admet que : La bissectrice d'un angle est l'ensemble des points équidistants des deux côtés de cet angle.

II- Bissectrices d'un triangle. Cercle inscrit.

Tracer un triangle ABC tel que :
AB = 8,5 cm, AC = 10 cm et BC = 6 cm.
(Il est nécessaire de tracer un "grand" triangle)

Tracer en rouge les bissectrices des angles ABC.gif (111 octets), ACB.gif (111 octets) et CBA.gif (114 octets).

Les trois bissectrices du triangle se coupent en un point O qui est à égale distance des droites (AC), (AB) et (BC).

On l'appelle centre du cercle inscrit au triangle, car on peut tracer un cercle de centre O tangent aux trois côtés du triangle.

Facultativement, on peut expliquer aux élèves le tracé du cercle inscrit.

Bissec6.gif (3584 octets)

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