Classe de 5°, Triangles, leçon 6 :
Hauteurs. Droites particulières du triangle.

Pré-requis :
Tracé de la perpendiculaire à une droite passant par un point.
Médiatrices d'un triangle
Bissectrices d'un triangle.

I- Hauteurs d'un triangle, orthocentre.

Bien sûr, les mesures des triangles ne sont pas données au hasard. Elles évitent les cas particuliers et montrent les deux cas de figure : orthocentre interne au triangle et orthocentre externe au triangle.

Tracer un triangle ABC avec
AB = 5 cm, BC = 7cm et AC = 6cm.

Tracer en rouge la perpendiculaire à (BC) passant par A.
On l'appelle hauteur issue de A du triangle ABC.

Tracer en bleu la perpendiculaire à (AC) passant par B.
On l'appelle hauteur issue de B du triangle ABC.

Tracer en vert la perpendiculaire à (AB) passant par A.
On l'appelle hauteur issue de C du triangle ABC.

On admet que les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un point qu'on appelle orthocentre du triangle. (Point O sur la figure)

Hauteurs.gif (2457 octets)

OrthExt.gif (2804 octets)

Warning2.gif (407 octets)

 

Les trois hauteurs ne se coupent pas toujours à l'intérieur du triangle. Voici un exemple où l'orthocentre se trouve en-dehors du triangle :

Tracer un triangle RST avec
RS = 5 cm, RT = 3,5 cm et ST = 7cm.

Tracer les trois hauteurs et placer l'orthocentre O de ce triangle.

Remarque : on a besoin de prolonger la droite (RS) pour tracer sa perpendiculaire qui passe par T (hauteur issue de T). De même, on doit prolonger (RT) pour tracer la hauteur issue de S.

Retenir : Les hauteurs d'un triangle sont les droites qui passent par l'un des sommets et qui sont perpendiculaires au côté opposé à ce sommet. Elles se coupent en un point qu'on appelle l'orthocentre du triangle.

 

La construction des hauteurs externes au triangle pose généralement problème aux élèves. Il est nécessaire de faire un dessin le plus lisible possible au tableau, avec emploi des couleurs de préférence.

 

 

II- Droites particulières d’un triangle, Bilan.

 

La médiane est facultative, car elle ne figure pas au programme de cinquième.
Vous pouvez faire faire les tracés en exercice de révision à vos élèves avant de leur distribuer cette fiche bilan.

 

Droite particulière Caractérisation Figure

Nom du point d’intersection

Médiatrice Passe par le milieu d’un côté et lui est perpendiculaire.

Remarque : les médiatrices ne passent généralement pas par les sommets du triangle.

trmediat.gif (2657 octets)

Centre du cercle circonscrit.
Hauteur Passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé.

trhaut.gif (1545 octets)

Orthocentre.
Bissectrice Partage chaque angle en deux.

Remarque : les bissectrices passent par les sommets du triangle.

trbis.gif (1945 octets)

Centre du cercle inscrit.
Médiane

(pas au programme de cinquième)

Passe par un sommet et par le milieu du côté opposé.

trmedian.gif (1565 octets)

Centre de gravité.

 

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