5° - Fractions, fractions égales, simplifications, comparaison de fractions.

   pré-requis :
Représentations de fractions par des schémas.
Notion de multiple.

1- Ecriture fractionnaire d'un nombre.

Les élèves ont tendance à vite oublier le rapport entre fraction et quotient.

Définition.gif (1246 octets)

Exemples :

12dec.gif (163 octets)         25dec.gif (168 octets)        34dec.gif (179 octets)         75dec.gif (157 octets)

Faire poser les divisions, avec un rappel sur la division décimale. On peut aussi vérifier les résultats à la calculatrice.

Exemple1.gif (1012 octets)

Mais certains nombres en écriture fractionnaire n'ont pas d'écriture décimale.

Exemples :       103.gif (106 octets)   n'admet pas d'écriture décimale.

En effet, la division de 10 par 3 ne "s'arrête" pas.

On ne peut pas écrire que 103.gif (106 octets) soit égal à un nombre décimal.

Division.gif (679 octets)

On peut écrire à la rigueur que   103dec.gif (233 octets)   (le signe "peudiff.gif (49 octets)" signifie "peu différent de") mais on ne peut pas écrire que la fraction et le nombre 0,333 soient égaux.

De même, on a :   411dec.gif (249 octets). (Faire poser les divisions)

 411.gif (100 octets), comme 27.gif (74 octets) et beaucoup d'autres fractions n'admettent pas d'écriture décimale, car la division du numérateur par le dénominateur ne "s'arrête" pas.

Définitions : wpe1.jpg (12640 octets)

Ici, on peut demander aux élèves d'essayer au brouillon de poser la division d'un nombre par zéro, et/ou de la taper sur la calculatrice. Ce travail peut être fait à tous les niveaux car les élèves oublient souvent, même au lycée, que les dénominateurs d'écritures fractionnaires doivent être différents de zéro.

 

2- Plusieurs écriture fractionnaires d'un même nombre. Simplifier une fraction.

Galette.gif (2748 octets)

Exemple : la galette de Kamel.

Kamel.gif (2950 octets)

3612.gif (1142 octets)

 3612div3.gif (641 octets)

36simpl.gif (613 octets)

36simpl2.gif (737 octets)

 

Clauddy.gif (3447 octets)

 

Règle : La valeur d'une fraction ne change pas si l'on multiplie (ou si l'on divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

Regle.gif (1683 octets)

 

Remarque : lorsque les fractions admettent une écriture décimale, on peut vérifier qu'elles sont égales en regardant si elles ont la même écriture décimale. Exemple :     3612dec.gif (571 octets)

 

Simplifier une fraction, c'est trouver une fraction qui lui est égale dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers les plus petits possible.

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A nous d'insister, dès la cinquième, sur l'intérêt de la décomposition d'un entier en un produit pour la simplification.
On pourra faire remarquer, par exemple, que "dans 35 et dans 15, il y a du 5"
L'usage des couleurs peut aider beaucoup pour montrer que c'est par un même nombre qu'on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur d'une fraction. Personnellement, je demande à mes élèves de cinquième d'utiliser systématiquement une couleur, même dans leurs copies, pour me montrer par quel nombre ils simplifient.

 

3- Comparer des nombres en écriture fractionnaire.

Pour un meilleur apprentissage, on pourra laisser du temps aux élèves avant d'aborder ce paragraphe, afin qu'ils se soient bien entraînés au préalable sur les simplifications.

1- Comparer deux fractions qui ont même dénominateur.

Comp01.gif (2044 octets)

Règle : Quand deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

Rappel :

numden.gif (591 octets)

Exemples :
Comp02.gif (1812 octets)

 

 

2- Comparer deux fractions de dénominateurs différents.

Comp03.gif (512 octets)

Représentons ces deux nombres sur une "tablette de chocolat" de 3 carreaux par 4 carreaux :

tablette1.gif (1534 octets)

tablette2.gif (1623 octets)

Comp04.gif (661 octets)

(Dans le premier cas, on a trois "lignes" de même grosseur, et dans le deuxième, 12 "carreaux" identiques.)

Comment peut-on se débrouiller sans passer par le dessin ?
- Il suffit de convertir les tiers en douzièmes, car 12 est un multiple de 3.

Comp05.gif (2435 octets)

 

Comp06.gif (1756 octets) Comp07.gif (1376 octets)

Comp08.gif (1575 octets)

 

Comp09.gif (1545 octets)

On convertit les 7ièmes et 21ièmes

car 21 est un multiple de 7.

Bilan : Pour comparer deux fractions, on les transforme afin que leurs dénominateurs soient égaux. On dit qu'on les réduit au même dénominateur.

La suite est en marge du programme de cinquième.

Lorsque les deux fractions ont des dénominateurs différents, on cherche un multiple commun aux deux dénominateurs. Pour éviter les gros calculs, on choisit généralement le plus petit multiple commun (voir leçon 5).

Exemple 1 : pour 4 et 8, on choisit 8 qui est à la fois multiple de 4 et de 8.

Exemple 2 : pour 21 et 7, on choisit 21 qui est à la fois multiple de 21 et de 7.

Exemple 3 : pour 4 et 3, on choisit 12, qui est à la fois multiple de 4 et de 3.

Comp10.gif (1432 octets)

On peut imposer un modèle de rédaction.

Exemple 4 : pour 6 et 9, on choisit 18, qui est à la fois multiple de 6 et de 9.

Comp11.gif (1600 octets)

Exemple 5 : pour 21 et 14, on choisit 42 (les multiples de 21 sont 21, 42, etc... et ceux de 14 sont 14, 28, 42 etc...)

Comp12.gif (1632 octets)

 

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