Classe de 5°, Triangles, leçon 1 :

Tracés de triangles de mesures données

Inégalité triangulaire

 

I- Tracés de triangles de mesures données. (Révisions de la sixième )

Figure 1 : Tracer un triangle ABC tel que

AB = 8,5 cm, AC = 6 cm et BC = 5 cm.

Je trace un segment [AB] de 8,5 cm, puis j'ouvre mon compas de 6 cm pour tracer un arc de centre A et de rayon 6 cm, et ensuite je l'ouvre de 5 cm pour tracer un arc de centre B et de rayon 5 cm qui coupe l'autre arc.

A l'intersection des deux arcs, on a un point C qui se trouve bien à 6 cm de A et à 5 cm de B.

ABC.gif (2599 octets)

Figure 2 : Tracer un triangle DEF tel que

DE = 5 cm, EF = 3,5 cm et DF = 7 cm

Pour que mes mesures soient plus précises, je commence par tracer le côté le plus grand : [DF]. Ensuite, à l'aide du compas, je trace un point E à 5 cm de D et à 3,5 cm de F.

DEF.gif (2362 octets)

Figure 3 : Tracer un triangle GHI tel que

GH = 6 cm, GI = 4,5 cm et IH = 6 cm

Ce triangle a deux côtés de même longueur. On dit que c'est un triangle isocèle.

Rappel : Pour indiquer que deux segments ont même longueur, on les "code" en dessinant le même signe dessus. Sur ce dessin : [GH] et [IH] ont même longueur.

GHI.gif (2417 octets)

Figure 4 : Tracer un triangle KLM tel que

KL = KM = ML = 5 cm

Ce triangle a ses trois côtés de même longueur.

On dit que c'est un triangle équilatéral.

KML.gif (2086 octets)

Remarque : Dans les dessins ci-dessus, on a pris soin de ne pas tracer systématiquement des "bases" de triangles horizontales.

 

II- Triangle inconstructible. Inégalité triangulaire.

 

Figure 5 : On demande de tracer un triangle IMP tel que

IM = 9 cm, IP = 4 cm et MP = 3 cm.

Que remarque-t-on ? (Laisser cette question au tableau tandis que les élèves essaient des tracés)

IMP.gif (3376 octets)

 

On n'arrive pas à tracer ce triangle.

Pourquoi ? Parce que les cercles ne se rencontrent pas. Les rayons de longueurs 4 cm et 3 cm ne parviennent pas à se toucher car 4 + 3 est plus petit que 9 (longueur du grand côté)

Théorème : Pour pouvoir tracer un triangle, il faut que la mesure du plus grand côté soit plus petite que la somme des mesures des deux autres côtés.

Inégalité triangulaire : Lorsqu'un triangle ABC "existe", alors on a :

BC < BA + AC

AB < AC + CB

AC < AB + BC

 

Et que se passe-t-il lorsque, par exemple, AC = AB + BC ? Essayons par exemple de tracer un triangle ABC avec

AC = 7 cm, AB = 4 cm et BC = 3 cm

aplati.gif (2754 octets)

Les deux cercles se "touchent" en un point, le point B, qui se trouve sur le segment [AC]

 

Et réciproquement : Lorsqu'un point B est sur un segment [AC], alors on a AC = AB + BC :

AC.gif (895 octets)

 

Remarque sur l'ensemble de la leçon :

J'ai sacrifié un peu de rigueur mathématique pour utiliser un langage "intuitif" qui "parle", je pense mieux aux élèves.

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