Classe de 5°, Triangles, leçon 2 :
Médiatrices.

 

Pré-requis : construction de triangles de mesures données.

 

I- Les deux définitions de la médiatrice d'un segment

Figure 1 : Tracer un segment [AB]. Tracer cinq points C, D, E, F, G qui soient à égale distance des points A et B. (rappeler au besoin la manière de procéder à l'aide du compas)

Que remarquez-vous ? (Laisser cette question au tableau tandis que les élèves terminent leur construction. Ils ne manqueront pas de constater que les points sont alignés. On fera alors tracer la droite qui les relie.)

On remarque que ces points sont alignés. Ils sont alignés sur une même droite qu’on appelle la médiatrice du segment [AB].

Définition 1 : La médiatrice d’un segment [AB] est l’ensemble des points équidistants (c’est-à-dire à même distance) des points A et B.

J'ai choisi de définir en premier la médiatrice comme ci-dessus pour trois raisons : 1- Si l'on définit la médiatrice comme étant d'abord la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu, les élèves ont tendance à oublier la propriété d'équidistance. 2- Une telle formulation (présentation comme un ensemble de points) englobe la condition nécessaire et la condition suffisante de cette propriété, qui pourra donc être utilisée dans les deux sens. 3- De cette définition découle directement la construction à la règme et au compas de la médiatrice :

La médiatrice d’un segment est une droite. Il suffit donc d’en connaître deux points pour la tracer.

 

Figure 2 : Tracer un segment [CD] et sa médiatrice. Il suffit de tracer deux points M et M’ équidistants de C et de D, et de tracer la droite qui passe par ces deux points.

medtr01.gif (2032 octets)

Figure 1

La médiatrice et le segment se coupent. On appelle I leur point d’intersection.

On remarque : (Laisser la classe "trouver" les propriétés suivantes. On sollicite ainsi les facultés d'observation de l'élève qui devient plus 'acteur' de la leçon.)

1- Que le segment [CD] et sa médiatrice sont perpendiculaires.

2- Que I est le milieu du segment [BC].

medtr02.gif (3150 octets)

Figure 2

  Définition 2 : La médiatrice d’un segment est la droite qui lui est perpendiculaire et qui passe par son milieu.

Il n'y avait pas de raison de ne pas nommer cette propriété caractéristique "définition". Les élèves comprendront d'autant mieux que la perpendiculaire à un segment passant par son milieu et l'ensemble des points équidistants de ses extrêmités sont la même chose si on a donné le même statut aux deux caractérisations.

II- Médiatrices d’un triangle. Cercle circonscrit.

On nomme médiatrices d'un triangle les trois médiatrices des trois côtés d’un triangle.

Tracer un triangle ABC tel que AB = 5 cm, BC = 8 cm et AC = 7 cm. (Mesures prédéfinies pour éviter que l'élève trace un triangle trop petit ou un triangle particulier )

Tracer les médiatrices des segments [AB], [BC] et [AC].

On dirait que les trois médiatrices se coupent en un même point. Est-ce vrai ? Pourquoi ?

medtr03.gif (3332 octets)

L'exercice qui suit va conduire à une démonstration. Il est très directif car il s'agit souvent d'une des premières démonstrations que rencontre l'élève au collège. On demandera de répondre au brouillon aux questions, et d'attendre le corrigé pour le recopier dans son cahier de cours, afin que tout le monde ait une formulation claire et courte des réponses.
Répondons à ces questions pour le savoir :

On admet que les médiatrices de [AB] et de [BC] se coupent en un point qu’on appelle W (oméga, dernière lettre de l’alphabet grec) (Effacer au tableau la médiatrice de [AC]).Que dire des distances AW et BW  ? Pourquoi ?
AW = BW car W est sur la médiatrice de [AB], et donc W est équidistant de A et de B.

Que dire des distances BW et CW  ? Pourquoi ?
BW = CW car W est sur la médiatrice de [BC], et donc W est équidistant de B et C.

Que dire alors des distances AW et CW  ? Que peut-on en déduire ?
AW et CW sont égales, car elles sont toutes les deux égales à la distance BW . W est donc équidistant de A et de C.
On en déduit que W est aussi sur la médiatrice du segment [AC]. (Retracer la médiatrice de [AC])
Il est donc à la fois sur la médiatrice de [AB], sur celle de [BC] et sur celle de [AC].
C’est donc le point d’intersection de ces trois droites.
Donc les trois médiatrices du triangle ABC se coupent en un même point W . On dit qu’elles sont concourantes.

Remarque : les mesures des côtés de ce triangle ne sont pas intervenues dans le raisonnement qui a montré que les médiatrices du triangle ABC étaient concourantes. On peut en déduire le théorème suivant :

Théorème : Dans tout triangle, les médiatrices des côtés se coupent en un même point. Ce point est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

Définition : le cercle circonscrit d’un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets de ce triangle.

Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC ci-dessus. C'est le cercle de centre W qui passe par A : il passe aussi par B et C, car A, B et C sont à la même disatnce de W.

Exercice d'application : Tracer un triangle DEF de votre choix avec ses médiatrices et son cercle circonscrit.

Retour à la liste des cours de sixième
Retour à la liste des cours de cinquième
Retour à la page d'accueil du site